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女性でも男性でもない「Xジェンダー」を確率論的に考察！二封筒問題から考える性自認の公共性／東大教授・三浦俊彦

2019.07.11 16:00

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　ノンバイナリー、あるいはＸジェンダーと呼ばれる性自認がありますね。身体の性別はハッキリしていても、性自認は男女の中間、両方、どちらでもない、ときによって変化……いろんな種類があるようですが、ともかく男とも女とも決められない性自認です。

　そういう人たちって、数学者タイプの感性を備えてるのか？……と思うことがあります。といきなり言われても、意味がわかりませんよね。ご説明しましょう。

　これから数学の問題を２つ考えていただきます。「健康診断問題」と「２封筒問題」。まずは簡単な方の、健康診断問題から。

　あなたは健康診断で、１万人に１人がかかる致命的な病気Ｋの検査を受けました。精度の高い検査で、99％は正しい結果を出します。さて、あなたの検査結果は、陽性でした。あなたが本当に病気Ｋである確率は？

女性でも男性でもない「Xジェンダー」を確率論的に考察！二封筒問題から考える性自認の公共性／東大教授・三浦俊彦の画像2 — 三浦俊彦教授

「99％」と即答した人。もう少し考えてください。健康診断を受けた人数を100万人とするモデルを作りましょう（１億人でも、100億人でも結果に影響ありません）。病気Ｋは１万人に１人だから100人が該当。病気Ｋでない人は残りの99万9900人。検査結果が正しい確率は99％だから、病気Ｋ100人のうち陽性は99人。検査結果が間違っている確率は1％だから、病気Ｋでない人99万9900人のうち陽性は9999人。つまり陽性は（99＋9999）人いることになります。その中の１人があなたです。そのあなたが病気Ｋである確率は、（99＋9999）人のうち99人に属している確率ですね。計算すると、102分の１が正解です。つまり１%未満。

　この問題のポイントは――病気Ｋの証拠となる「検査結果が正しい確率」だけに気を取られて、検査結果が出る前の有病率、つまり「事前確率」を見過ごす、という誤りへの警告です。一度陽性が出たからといって、絶望するのは早すぎるんですね。

　改めて、計算式は次のようになります。記号を避けると長ったらしくなりますが……

　陽性になった場合の病気Ｋの確率＝病気Ｋでかつ陽性になる事前確率／（病気Ｋでかつ陽性になる事前確率＋病気Ｋでなくかつ陽性になる事前確率）＝0.01×99／（0.01×99＋99.99×1）＝1／102

「検査前に特定の人が病気Ｋである事前確率（％）」としての0.01という数値が大きな役割を果たしていることがわかります。

　この健康診断問題の教訓を踏まえて、「２封筒問題」に取りかかりましょう。

　見分けのつかない２つの封筒を差し出されました。それぞれ小切手が入っていて、一方が他方の２倍の金額であり、あなたは１つだけもらえます。そして、一方の金額だけを見ることが許されます。あなたは左の封筒を取り、開封すると「10,000円」でした。これをもらうのが得でしょうか、それとも、右の封筒をもらう方が得でしょうか。

　ちなみに未開封の状態では、交換しても損得ありません。取った左の封筒にはＡ円、右には２倍の２Ａ円。あるいは、左に２Ａ円、右に半額のＡ円。それぞれ確率は1/2。交換、未交換ともに、獲得金額の期待値は3A／2円。損得なし。常識に合っていますね。

　この問題の厄介なところは、開封すると事情が変わることです。左には確率1/2でＡ円、確率1/2で２Ａ円があるのでした。開封して１万円だったので、確率1/2でＡ＝10,000、確率1/2で２Ａ＝10,000。つまり右の封筒には確率1/2で２万円、確率1/2で５千円。交換したときの期待値は、12,500円。交換しないともちろん10,000円。交換した方が得ですね！

　しかし……、開封した途端に「交換で損得なし→交換が得」と変化するとは、なんとも不可解な感じです。とはいえ、推論のどこも間違っているように見えません。

　この２封筒問題は悪名高い難問で、「炎上するのでこの問題はお断り！」と但し書きしているBBSを複数見たことがあります。